平成29年度 大妻中野高等学校学校 2年生コアクラス 数学B 1学期中間テスト分析

こんにちは! 今回のテストはどうでしたか?

そろそろ期末試験も返却された頃でしょうか? 「今更中間の内容…? 遅いですよ!!」といったツッコミがあるかもしれません。しかし、大学入試を1年後に控えた高校2年生の皆さんにとっては、当たり前ですが中間試験の内容も重要です。

夏に向けて今の時期にもう一度復習をし、基礎的な内容は確実に身につけましょう!

それでは、大妻中野高等学校の2年生1学期中間テストの分析をしていきましょう。

試験範囲

今回の試験範囲は平面ベクトルの図形への応用までとなっています。『4プロセス』の試験範囲をしっかり演習した生徒の皆さんは高得点が取れたと思います。

問題構成

大問 内容 基礎・標準・応用 出題元 問題数
1 有向線分とベクトル 基礎 問題集 3
2 ベクトルの加法・減法・実数倍 基礎 問題集 3
3 ベクトルの成分 基礎 問題集 1
4 ベクトルの内積 基礎 問題集 2
5 ベクトルの平行・垂直 基礎 問題集 2
6 ベクトルの成分と内積 基礎 問題集 3
7 ベクトルの内積 基礎 問題集 3
8 重心の位置ベクトル 基礎 問題集 2
9 ベクトルの実数倍と最小値 標準 問題集 1
10 垂直な単位ベクトル 標準 問題集 1
11 ベクトルの内積の性質 基礎 問題集 1
12 ベクトルの内積 大学入試問題過去問 標準 初見 1
13 位置ベクトル 大学入試問題過去問 標準 初見 2
14 平面ベクトル 大学入試問題過去問 標準 初見 3

問題数と出題傾向

問題数は試験時間に対して標準的な量だと思います。問題は基礎的な演習問題が中心で、「最低限ここだけは身につけましょう!」といった意図を感じます。出題された問題は、問題集のA問題レベルが中心でした。

大問ごとの分析

大問1 有向線分とベクトル

大問1は有向線分において、向きが同じベクトル・等しいベクトル・逆ベクトルを答える問題でした。

ベクトルを習う上で最初に学習する知識ですね。ベクトルの始点と終点、平行移動等の考え方を理解すれば難なく正答できたはずです。

大問2 ベクトルの加法・減法・実数倍

大問2は正六角形を利用したベクトルの加法・減法・実数倍に関する問題でした。

ベクトルの加法・減法・実数倍の計算方法は方程式と同じです。解く上で始点・終点を必ず意識しましょう。

大問3 ベクトルの成分

大問3は平行な単位ベクトルを表す問題でした。単位ベクトルとは、「大きさが1のベクトル」ですよ!

大問3では平行な単位ベクトルの公式に当てはめて解くことができます。成分における考え方とは混同しないよう注意してください。

大問4 ベクトルの内積

大問4はベクトルの内積に関する問題でした。

(1)…ベクトルの大きさとcosの積で求める問題
(2)…ベクトルの成分から内積を求める問題

それぞれ公式に数字を当てはめるのみで計算ができるので、公式をしっかり覚えているかが聞かれていますね。内積の公式は余弦定理を用いて証明ができますから、是非自分で導出して理解して欲しいと思います。

大問5 ベクトルの平行・垂直

大問5はベクトルの垂直・平行に関する問題でした。

(1)…ベクトルの平行についての問題
(2)…ベクトルの垂直についての問題

与えられた成分から、平行・垂直条件に従って解きましょう。指導中垂直の公式に関する質問が多かったです。教科書にも書かれているようにベクトルのなす角θを求める公式で、cos90°の時を考えてみれば分かるはずです。

大問6 ベクトルの成分と内積

大問6は与えられたベクトルの成分から大きさ・成分表示・なす角θを求める問題でした。

(1)…ベクトルの大きさを求める問題
(2)…成分表示を求める問題
(3)…なす角θを求める問題

ベクトルの大きさの求め方・成分表示・なす角の求め方はそれぞれ基本です。大問6では点数を落としてはいけませんよ。

大問7 ベクトルの内積

大問7は正六角形の内積に関する問題でした。

大問1でも出題されたベクトルの加法と減法について理解できていなければ、この問題は難しかったと思います。大きさは与えられているので、ベクトルの表し方に注意することがポイントです。

大問8 位置ベクトル

大問8は三角形ABCの位置ベクトルに関する問題でした。内分点の位置ベクトル・重心の位置ベクトルについて理解できていれば解けたはずです。

問題文で指定されたベクトルを表すことに躓いてしまった生徒が多かったかもしれませんね。間違えてしまった生徒はよく復習しましょう。

大問9 ベクトルの実数倍と最小値

大問9はベクトルの実数倍とその最小値に関する問題でした。

ベクトルの実数倍に関して特に問題はなさそうですね。大問9のポイントは最小値に関してでしょう!

”ベクトルc”の大きさを数式で表すと、”実数t”の2次方程式になります。ここで、最小値と言えば瞬時に「平方完成!」と反応できるようになりましょう!

大問10 垂直な単位ベクトル

大問10は垂直な単位ベクトルに関する問題でした

ポイントは、一方のべクトルの成分を文字で置くことができるか、でしょう。それができれば、ベクトルの垂直条件と単位ベクトルの性質から解答を求める事ができます。

大問11 ベクトルの内積の性質

大問11はベクトルの内積の性質に関する問題でした。

指定された式を二乗してみると… 与えられた値を利用して求めることができますね。必ず0以上の値になることを忘れずに、確実に正解してください。

大問12 ベクトルの内積 大学入試問題過去問

大問12はベクトルの内積の大学入試問題過去問からの出題でした。与えられたベクトルは少々複雑ですが、それに惑わされず垂直条件を駆使すると解答を導き出せます。

内「積」、であることが問題文にもあるように、垂直条件を使用することが手がかりになるはずです。その後のcosθの値の求め方は、ここまでくれば自明ですよね。

大問13 位置ベクトル 大学入試過去問

大問13は位置ベクトルの大学入試問題過去問からの出題でした。

今回のテストでは大問13が一番難しかったのではないでしょうか。指導中も最も質問の多かった形式の問題です。

位置ベクトルの”点P”をどのように定めるのか、イメージが難しいようです。普段から位置ベクトルの点の位置に注目して演習を行い、徐々に慣れていってほしいです。

また、ベクトルの式変形に関して図形を書いてみることがポイントだと思います。図示することで大分考えやすくなるはずです。

大問14 平面ベクトル 大学入試問題過去問

大問14は平面ベクトルの総合問題、大学入試の過去問からの出題でした。

平面上の”三角形OAB”に関して、それぞれの問いに解答する問題です。大問14は大学入試の過去問ですが、これまで出題された問題の総まとめとも言える問題でした。

これまでに出題された問題が解けていれば、難なく解けたでしょう。ポイントは全て上述してあります。

傾向と対策

今回の中間テストでは「最低限ここは身につけて欲しい」という問題が中心に出題されました。大学入試を控えているのであれば、80点~90点は取れて欲しい内容です。解けなかった問題は確実に解けるようにしましょう!

入試問題では、今回のテストで出題された内容が解けることが前提です。焦らずに確実な土台を積み上げて下さい。

大妻中野高等学校のコアクラスでは、教科書・問題集のA問題レベルが中心に出題されています。初見の入試問題も出題されていますが、問題のレベルはあまり変わりません。

対策として、学校で配布されている問題集『4プロセス』のA問題は確実に解けるように、なってからテストに臨んでください。まずはA問題から最低でも2回は繰り返し解いて、「解法を友人に教えてあげられる」くらいにならば申し分ないのではないでしょうか。

「学校から課せられた課題を真摯に取り組む」

これこそが最も重要な定期テスト対策です。

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