平成29年度 大妻中野高等学校 2年生理系コアクラス 数学Ⅱ 1学期中間テスト分析

高校2年生の皆さん、1学期中間テストはどうでしたか?

理系に進んだ皆さんの中には、理系科目の授業進度の速さや難易度の変化に辟易してしまった方もいるのではないでしょうか。しかし、大学進学を目指している皆さんにとっては越えなければならない壁ですから、焦らず一つ一つ丁寧に復習していって欲しいと思います。

三角関数は高校数学の中でも難しい単元の一つなので、8月を迎える前に定期テストの振り返りをして、基礎を見直しましょう!

夏休み明けの模擬試験では三角関数も出題範囲となります。今回の試験を確実に定着させることで大問の(2)までは解けるようになるはずです。また、定期テストを振り返ることは次回の定期テストにも繋がります!

それでは、「大妻中野高校2年生 コアクラス数学Ⅱ 1学期中間テスト」を分析していきましょう。

試験範囲

今回の試験範囲は、三角関数の一般角と弧度法から加法定理の応用までとなっています。高校数学の中でも特に苦手意識を持っている生徒が多い分野ですね。

問題構成

大問 内容
基礎・標準・応用
出題元
問題数
1 一般角と弧度法
基礎
問題集
2
2 扇形の孤の長さと面積
基礎
問題集
1
3 三角関数の相互関係②
基礎
問題集
1
4 三角関数の相互関係③
基礎
問題集
3
5 いろいろな角の三角関数
基礎
問題集
1
6 三角関数の方程式
基礎
問題集
1
7 三角関数の不等式
基礎
問題集
3
8 三角関数の加法定理①
基礎
問題集
1
9 三角関数の加法定理②
基礎
問題集
1
10 等式の証明
標準
問題集
1
11 三角関数の最大と最小
基礎
問題集
1
12 三角関数の2倍角
基礎
問題集
1
13 三角関数の半角
基礎
問題集
3
14 三角関数の方程式の応用
基礎
問題集
1
15 大学入試問題過去問
標準
初見
2
16 大学入試問題過去問
標準
初見
3

問題数と出題傾向

全体で大問16問、小問は全21問でした。試験時間に対する問題量としては標準的です。

テストは教科書レベルの問題を中心に出題されています。また、大学入試の過去問も少々出題されており、ある程度の応用力も問われています。問題集で言うとA問題を中心に、B問題の*(アスタリスク)問題も出題されていました。

いずれにせよ、絶対に身につけて欲しい教科書の内容が中心に出題されています。

大問ごとの分析

大問1 一般角と弧度法

大問1は、度数法で表された角度は弧度法に、弧度法で表された角度は度数法に直す問題でした。まず、π=180°であることは忘れてはいけません。そのことを念頭に、単位円を用いれば考えやすくなると思います。忘れてしまった人は教科書をよく読み直してみてください。

大問2 扇型の孤の長さと面積

大問2は扇型の孤の長さと面積を求める問題でした。扇形の孤の長さと面積に関しては公式がありますから、それを利用して解きましょう。公式の証明に関しては教科書を読み直しましょう!

大問3 三角関数の相互関係①

大問3は三角関数の相互関係に関する問題でした。

三角関数(三角比)の相互関係は、『sin²θ+cos²θ=1』と『tanθ=sinθ/cosθ』です。公式は確実に押さえましょう! また、この問題では弧度法で表されたθの範囲が指定されています。単位円を駆使し、範囲を図示できるようになってください。

大問4 三角関数の相互関係②

大問4も三角関数の相互関係に関する問題でした。

こちらでは、第2象限の角度を求めることが要求されています。象限とは何なのか? どこが第◯象限なのか? 三角関数に限らず数学を学ぶために必要な用語ですから、今更知らないとは言わないでくださいね。

大問5 いろいろな角の三角関数

大問5はいろいろな角の三角関数に関する問題でした。

この大問が三角関数の核になる事柄だと思います。弧度法の考え方を理解することがポイントです。単位円を駆使して、教科書に出てくる性質を一つ一つ理解しましょう!

大問6 三角関数の方程式

大問6は三角方程式に関する問題でした。範囲に注意し、方程式を解けばθの値はすぐに求められると思います。

大問7 三角関数の不等式

大問7は三角不等式に関する問題でした。

問題では、tanθの範囲について問われています。tanは傾きですから、傾きの正負が入れ替わってしまわないよう、範囲に注意をする必要があります。tanの範囲に関しては、単位円を書かなければ理解することが難しいので、初めのうちは必ず単位円で図示しましょう!

大問8 三角関数の加法定理①

大問8は三角関数の加法定理に関する問題でした。sin・cos・tanの加法定理の基本的な利用方法が問われていました。ここは絶対に正解していただきたい大問です。加法定理は利用方法と共に確実に覚えましょう!

大問9 三角関数の加法定理②

大問9も三角関数の加法定理に関する問題でした。大問8では度数法、大問9では弧度法で角度が表されています。弧度法に恐れることなく、sinの加法定理を用いて計算を行ってください!

大問10 等式の証明

大問10は等式の証明に関する問題でした。左辺の式を、相互関係を用いて変形し、右辺と同じ形にしましょう。また、分数式の計算方法に注意してください。

大問11 三角関数の最大最小

大問11は三角関数の最大最小に関する問題でした。

最大値・最小値という単語を目にしたら、瞬時に「2次関数だ!」と反応できることが理想ですね。大問11では、sinxを文字に置き換えて2次関数として考えると解きやすくなるはずです。

大問12 三角関数の2倍角

大問12は三角関数の2倍角に関する問題でした。

ここではsinの値が与えられているので、相互関係を駆使してcosの値を求め、sinの2倍角を求めましょう。2倍角の公式についてはsinの加法定理から導きだせるようになってください!

大問13 三角関数の半角

大問13は三角関数の半角に関する問題でした。

この大問では、公式さえ覚えておけば小問の順番通りに値を当てはめることで解くことができます。半角の公式はcosの2倍角から導き出すことができるようになりましょう!

大問14 三角関数の方程式の応用

大問14は三角関数の方程式の応用に関する問題でした。左辺のcosを2倍角の公式で変形すると、cosxに関する2次方程式となります。あとは方程式を解くのみです。角度を求めるのを忘れてしまわないように!

大問15 大学入試問題過去問

大問15は大学入試の過去問からの出題でした。この大問では、問題文を読んで加法定理を用いるのだと気づけば難なく解答できたと思います。

しかし、一捻り用意されており、(1)ではsinθ‐cosθの値を求める必要があります。sin45°とcos45°の値に気がつけば共通因数で括る事ができますね。(2)は(1)の式を二乗すると2sinθcosθが現れます。これが考えつくかに尽きます。2sinθcosθ=sin2θですよね。

大問16 大学入試問題過去問

大問16も大学入試問題の過去問からの出題でした。ここまで来たなら、相互関係と2倍角の公式を駆使すれば難なく解答できるでしょう!

傾向と対策

理系コアクラスの定期テストでは、学校の先生の「最低限ココまでは身につけて欲しい」という意図を強く感じます。最低限とは言っても、基礎力こそが応用力の土台です。今回の定期テストの内容を確実に身につけることで、模擬試験でも点数が取れるようになります。

テストには教科書レベルの問題が中心に出題されていますから、まずは問題集のA問題を繰り返し解いて解法を身につけましょう。B問題に関しては、A問題が解けるようになってから取り組んでもOKです。

高得点を狙うならば、*問題を中心にB問題まで頑張って取り組んでください!

定期テスト対策として必要なことは、「学校から課せられた問題集の課題」を確実にこなすこと。これに尽きます。

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2017年07月10日